虽然也有例外，它通常是真正的伟大的数学研究本身而言， 并没有提及任何外部本身。数学的所有美在于，为数学家在解决一个重要问题后带来审美喜悦，无论什么价值的社会都可能会发生在这一活动。在这个意义上说，数学一直试图摆脱它的实际来源。

几何，例如，从勘测，计算领域区域和做天文学研究和导航的行为的规则。概率论起源于希望提高赌博高艺术。但是，很快，数学从这样一步一步形成的起源中分离出来。确实是这样，有些特殊的数学家以物质世界的一个具体问题来开始他们的研究，但是到最后，他们所研究的数学就会超出那个具体的情况去研究更抽象的关系。数学不是与具体案例联系在一起，而是与具体案例的抽象思维关系联系在一起。事实上，数学通过审查这些关系更进一步的提取两者的关系。以此方式，整个领域原理其历史渊源，实现更大的抽象和增加美感。

英国数学家G. Hardy拒绝辩解数学根据它的公共事业并且为自己追求它作为艺术。他似乎在高兴他自己的研究非常抽象和其远离实际应用。实际上，G. Hardy曾经以纪念碑如此之高，任何人都将可以看到雕像被放置在其顶峰------他自己的一个合适的比喻，认为数学中的作用有点极端。

在冯·诺依曼的话中，数学是“关系的关系”。如今，它可能采取进一步行动，因为分类理论的数学分支是不涉及任何特定的领域的，而是与数学不同领域之间本身相联系！在这个程度上，数学显示出纯粹而抽象的思维。正如一场单一的演出会破坏抽象完美的音乐的完美效果。

但正是在这一点上，一个惊人的矛盾抨击着我们。抽象数学的偶然工作。这是有用的。它是宇宙的螺母和螺栓物理学家聘用的工作工具！的确，守旧派的科学家提到了数学可以作为“物理的女仆”。但是他们为什么要脱离任何提及有形物体和物质过程，用一个抽象的概念编纂纯思想，难道这是非常有益的日常科学实践？在这里，我要随声附和Eugene Wigner的著名评论，数学是不合情理地有效的。

有很多的例子，从纯粹的数学科学及其发明中，数十年后突然查找到物理的一种使用分支的历史。也有一些数学方法的案件，当初制订一个具体的目的，就是后来被发现正是需要一些完全不同领域的物理学。

概率论，首先构想应付战略赌博，结果，确切的语言需要给一个分子基础热力学-应付工作和热的物理理论。但是这为什么会这样呢？当爱因斯坦制定其广义相对论，他发现，必要的数学在早先世纪已经被开发了。同样，对于量子论所必需的数学也是准备好的。最近五十年的理论物理的群论的基石，起源在第18和19世纪的基本数学。并且，当谈到Superstrings，在当代前沿理论物理一个专题，上同调和微分几何的数学工具正在等待使用。从表面判断，在抽象数学和物理世界之间的研究的这明显完善的婚姻是一样不大可能的象发现现代雕塑适合片断正确地作为一些复杂新的引擎缺掉组分!

为什么数学那不合情理的有效性，并且到现在还在物理学中充当一个重要的角色？一种方法是采取伽利略的看法是将数学提供的提示作为语言。正是自然语言被人类的想法使用，并且传递，那么，物理也必须利用数学语言来阐述自己。在这个意义上，数学就象是锤子或螺丝刀一样的工具，并且，我们可以选择适合利用的工具完成合适的工作。