在第八步中已经知道.把代理数r换作相应的“有理分划” r* R时.和、积及顺序不变,表达这事实的术语是:有序域Q与有序域Q* 同构,Q*的元素是有理分划.当然,r*绝不同于r但我们所涉及的性质(算术的及顺序)在这两个域里是一样的.
就是Q与Q*的这个一致性,才使我们把Q看成R的子域.
定理1.19的第二部分,就按这种一致性来理解.注意,当把实数域看成复数域的子域时,还会出现同样的现象,当把整数集等同于Q的一个子集时,这现象也在较为初等的水平上出现.
任何两个具有最小上界性的有序域同构,这是一个事实,(我们不打算在这里证明).所以定理1.19的第一部分完全刻划了实数域R.
书目所引Landan的和Thurston的书。是完全讨论数系的.Knopp的书里第一章,轻松地描述如何从Q得到R.在Hewitz及Stromberg书的第五节里用的是另一种构造法,其中定义实数是有理数Caucby序列的等价类(见第三章).
我们这里所用的在Q中的分划,是Dedekind发明的.从Q利用Cauchy序列来构造R归功于Cantoh ,Cantor及Dedokind都是在1872年发表其构造法的.