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在第八步中已经知道．把代理数r换作相应的“有理分划” r* R时．和、积及顺序不变，表达这事实的术语是：有序域Q与有序域Q* 同构，Q*的元素是有理分划．当然，r*绝不同于r但我们所涉及的性质(算术的及顺序)在这两个域里是一样的．

就是Q与Q*的这个一致性，才使我们把Q看成R的子域．

定理1.19的第二部分，就按这种一致性来理解．注意，当把实数域看成复数域的子域时，还会出现同样的现象，当把整数集等同于Q的一个子集时，这现象也在较为初等的水平上出现．

任何两个具有最小上界性的有序域同构，这是一个事实，(我们不打算在这里证明)．所以定理1.19的第一部分完全刻划了实数域R．

书目所引Landan的和Thurston的书。是完全讨论数系的．Knopp的书里第一章，轻松地描述如何从Q得到R．在Hewitz及Stromberg书的第五节里用的是另一种构造法，其中定义实数是有理数Caucby序列的等价类(见第三章)．

我们这里所用的在Q中的分划，是Dedekind发明的．从Q利用Cauchy序列来构造R归功于Cantoh ，Cantor及Dedokind都是在1872年发表其构造法的．

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